Introducción a la trigonometría

 ¿Qué es la trigonometría? ¿Para qué sirve?

Es una medición de los triángulos, es una parte de las Matemáticas que se encarga de calcular los elementos de los triángulos estudiando las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.

Sirve para muchas cosas, como puede ser calcular la altura de una montaña, para saber la distancia entre dos edificios, los barcos pueden saber a qué distancia se encuentra el puerto u otro barco, etc, (siempre conociendo otros datos).

Los  triángulos tienen  6 elementos y con trigonometría podemos deducirlos todos conociendo la mitad.

De esta parte de las matemáticas sale el teorema de Thales que anteriormente explicábamos.

¿Cuánto miden los lados?

Trigonometría 2

La palabra TRIGONOMETRÍA está compuesta de dos griegas trigonon significa triángulo y metron medir. Relaciona los lados de un triángulo con sus ángulos

TRI: Tres

GONO: Ángulo

METRÍA: Medida

Podemos decir que trigonometría etimológicamente «medición de los triángulos», es una parte de las Matemáticas que se encarga de calcular los elementos de los triángulos. Para esto se dedica a estudiar las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.

Aunque hay noticias de su existencia de la trigonometría antes del siglo II (antes de Cristo), es en este siglo y en Egipto donde adquiere relevancia (pirámides).

APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA

Entonces la trigonometría ¿para qué sirve? es útil para resolver problemas geométricos y calcular longitudes en la realidad.

Ejemplos: Desde un faro se ve un barco que necesita ayuda y es imprescindible saber a qué distancia de la costa se encuentra. Comprobarás que fácilmente construimos un triángulo rectángulo a partir del cual podemos, sirviéndonos de la trigonometría, realizar los cálculos que necesitemos conocer.

2. Calcular la altura de la montaña desde el lugar donde hacemos la medición.

3. Calcular la distancia, de un lugar a otro, éste supuestamente inaccesible.

Existen aparatos que nos permiten conocer medidas de ángulos y otras herramientas encaminadas a facilitarnos los cálculos.

Con un teodolito como el de la fotografía, se pueden medir ángulos, tanto en el plano vertical como en el horizontal, que nos permiten, aplicando las razones trigonométricas, hallar distancias o calcular alturas de puntos inaccesibles. En estos casos aunque el triángulo de partida no sea rectángulo, trazando su altura podemos obtener dos triángulos rectángulos a resolver con los datos que tenemos.

Como ves, el conocimiento de la trigonometría soluciona muchos problemas

Trigonometría 1.

La trigonometría es una rama de las matemáticas que nos permite hallar las medidas de los lados y los ángulos de un triángulo.

Algo que se enseña muy pronto son las razones trigonométricas, en concreto seno, coseno y tangente en un triángulo rectángulo. El triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo de 90 grados. Por ejemplo:

Podemos definir las razones de la siguiente manera:

• Seno: cateto opuesto (en este caso a) dividido entre la hipotenusa (c).
• Coseno: cateto contiguo (b) dividido entre la hipotenusa (c)
• Tangente: cateto opuesto (a) entre cateto contiguo(b)

Para que quede más claro dejo un vídeo en el que se explica: https://www.youtube.com/watch?v=P3buXIotumE

Además, adjunto un artículo como curiosidad. Realizaron un estudio con alumnos de entre 15 y 17 años y quedó demostrado que aprender matemáticas únicamente con fórmulas no es efectivo y que tienen problemas a la hora de saber qué fórmula utilizar porque no comprenden realmente lo que quieren decir.
En el artículo proponen diferentes formas de enseñar las matemáticas:

• De forma experimental. Es decir, partiendo de actividades realizadas por los alumnos y, básicamente, de la experiencia.
• A través de las TIC, destacando un software educativo llamado GeoGebra.

Referencia: Naranjo, William Eduardo; Triana, María Angélica (2015). Las razones trigonométricas a través del trabajo experimental en matemáticas: reflexiones de una indagación en el aula. Revista Ejes, 3, pp. 67-73

Representaciones gráficas

Este juego enseña a los niños a interpretar un sencilla gráfico de barras. Ayuda a los niños a familiarizarse con los gráficos, y la representación de números y tablas en gráficos.

Inicia a los niños en el mundo de la estadística y las proporciones, y enseña a comparar visualmente los datos con los gráficos de barras . Es una manera también de repasar las fracciones.

Escribe en los recuadros el número de libros que ha leído en un año cada niños.

¿Qué niño ha leído más libros este años? ¿Y el que menos?

¿Fórmula, ecuación o función?

Los términos de fórmula, ecuación y función se confunden mucho,por ello vamos a ver una breve explicación de cada uno para aprender a diferenciarlos.

La fórmula es una forma de expresar información simbólicamente, o una relación general entre cantidades, como la fórmula que dábamos temas atrás para el área de polígonos regulares.

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros. Ej. y=x+3

Y una función es una relación entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda, que llamamos imagen.

Ej. f(x)=x+3

Una vez definido cada uno de los términos, vamos a ver unos ejercicios y los alumnos tendrán que solucionarlo diciendo qué es lo que han usado: fórmula, función o ecuación:

1) Tres hermanos se reparten 1300€. El mayor recibe el doble que el mediano y este el cuádruple que el pequeño. ¿Cuánto recibe cada uno?

2) Tenemos un pentágono el cual tiene una base de 4 cm. La distancia entre el centro de la base y el centro del pentágono son 5cm, ¿cuál es el área del pentágono?

3) En una granja de gallinas se han vendido 712 huevos. Si la docena vale 2,75 euros. ¿Cuál ha sido

la recaudación correspondiente por la venta de todos los huevos?

Ejercicios de gráficas

Una gráfica es una forma más de representar datos.
Por ejemplo, la siguiente recoge la temperatura que ha hecho a lo largo de todo un año.

 

 En el año que se cogieron los datos hubo aproximadamente 11 grados centígrados en enero, 14 en febrero, 14 en marzo, 18 en abril, 20 en mayo, 23 en junio, 25 en julio, 26 en agosto, 24 en septiembre, 20 en octubre, 16 en noviembre y 14 en diciembre.

¿Queréis comprobar si lo habéis entendido? Os dejo algunos ejercicios para que podáis practicar.

EJERCICIO 1

En el año 2015 vendieron en una joyería los siguientes complementos: 

1. ¿Cuántas pulseras vendieron en abril?
2. ¿Cuántos relojes vendieron en febrero? ¿Y en abril?
3. ¿Vendieron más collares en febrero o en mayo? ¿Cuántos más?

EJERCICIO 2
El equipo argentino de natación compitió en 5 categorías distintas de carrera diferentes años y obtuvo las siguientes medallas:

  

1.  ¿Cuántas medallas obtuvo en 1956?
2. ¿Qué año ganó más medallas?¿Y menos?

RESPUESTAS

EJERCIO 1

1. Vendieron 300 pulseras en abril.
2. En febrero vendieron 350 relojes y en abril 250.
3. Vendieron más collares en mayo. en mayo vendieron 250 y en febrero 200.
   250-200=50. Vendieron 50 collares más en mayo. 

EJERCICIO 2

1. Obtuvo 4 medallas en 1956
2. El equipo ganó más medallas en 1956 y menos en 1928, 1988 y en el año 2000 

Teorema de Pitágoras

Hoy en clase hemos descubierto y practicado el Teorema de Pitágoras de diversas maneras, comenzamos dando una breve explicación con esta imagen y para afianzar se les ha puesto un video explicativos con dibujos, resultándoles mas divertido de aprender. Aquí os dejo el enlace del video.

http://educacion.practicopedia.lainformacion.com/matematicas/como-funciona-el-teorema-de-pitagoras-11186

Después hemos querido practicándolo de forma mas manual y visual y os ha encantado.

El cálculo del teorema implica que el cateto A al cuadrado + el cateto B al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado. Este teorema tiene mucha utilidad y se calcula al cuadrado debido a que dé el salen 3 formas geométricas cuadradas que es útil para muchos otros cálculos

Hemos cogido las regletas del 3, 4 y 5, hemos formado un triángulo rectángulo cuyos catetos obviamente medían 3 y 4 y la hipotenusa 5. Después hemos cogido los cuadrados de esos números, es decir, las regletas cuadradas de 3, 4 y 5. Y hemos visto qué relación entre esas regletas, es decir, ver qué relación hay entre 3 al cuadrado, 4 al cuadrado y 5 al cuadrado.

Y como si de magia se tratara, sumando las regletas cuadradas de 3 y de 4 se obtenía 5, después lo hemos pasado a un lenguaje mas matemático.

Luego hemos realizado el mismo proceso pero con 6, 8 y 10.

De esta manera le han quedado muy claro el enunciado del teorema de Pitágoras: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa y han visto una demostración visual del teorema.

Teorema de Thales

Uno de los dos teoremas más importantes de las matemáticas es el teorema de Thales, el cual nos muestra la semejanza:
Si en el triágulo ACE de la figura el segmento BD es paralelo al segmento CE, entonces :

  |AB|     |AD| 

_____   =   _____

|AC| = |AE|

Así, lo que podemos observar es la semejanza de triángulos: dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos correspondientes iguales y si sus lados homólogos son proporcionales entre sí.

También, para formar triángulos semejantes, se pueden trazar líneas paralelas:

Pondremos un pequeño video para que los niños conozcan la historia: 

Teorema de Thales

Para ver si nos ha quedado claro,haremos un par de ejercicios:

Paola quiere conocer la altura de la torre de la Giralda en Sevilla. Cuando sale a la calle se separa de la base de la torre 8,5 m y observa que para ver el extremo superior necesita un ángulo de elevación respecto a la horizontal de aproximadamente 85°. 

Si Paolamide 1,70 m, ¿cuál es la altura aproximada de la Giralda?

 Calcula la altura de un edificio sabiendo que en un determinado momento del día proyecta una sombra de 6 metros, y una persona que mide 1,8 m. tiene, en ese mismo instante, una sombra de 70 cm.

Unidades de medida.

Como dijimos en los primeros temas, los números decimales se utilizan utilizan a menudo. Os pedí que pensarais en acciones en las que los utilizáis y ahora vamos a ver alguna de ellas.

PESO

Recordemos el ejemplo de cuando vamos a comprar fruta, podemos pedirlo en kilos, pero también en gramos, ¿cómo sabemos cuánto hemos pedido? Vamos a utilizar unas escaleras para explicarlo de forma más visual.

 

De arriba a abajo serían: kilogramos, hectogramos, decagramos, gramos, decigramos, centigramos y miligramos. 

Para cambiar de unas unidades a otras imaginamos que hay ceros en los escalones, de modo que si me muevo un escalón habría 10 y si nos desplazamos dos escalones serán 100.

La duda ahora será: ¿cuándo tenemos que dividir y cuándo tenemos que multiplicar? Imaginaos que estáis bajando escalones, haremos menos esfuerzo y es más fácil que subir, ¿verdad? Entonces, vamos teniendo un número más grande. Sin embargo, si subimos nos cuesta mucho y vamos perdiendo energía, por lo que el número será más pequeño y hay que dividir. 

 MEDIDA

También utilizamos los números decimales para medir distancias, si estamos cerca de un sitio utilizaremos los metros, pero si vamos a ir de viaje normalmente utlizamos los kilómetros. 

En este caso tenemos de arriba a abajo: kilómetros, hectómetros, decámetros, metros, decímetros, centímetros y milímetros.

Para pasar de unos a otros funciona de la misma manera que con las unidades de peso. 

¿Esto no es recuerda a algo? Voy a ayudaros a recordar.

 

Podemos relacionar las unidades de longitud y peso con lo aprendido anteriormente. En ambos casos la unidad central (gramo y metro) serían las unidades, las decenas empiezan por deca (decagramo, decámetro), las centenas por hecto (hectogramo, hectómetro) y las unidades de millar por kilo (kilogramo, kilómetro). Lo mismo ocurre si bajamos escalones, para las décimas el nombre de la unidad empezará por deci (decigramo, decímetro), para las centésimas por centi (centigramo, centímetro) y para las milésimas por mili (miligramo, milímetro).

Posiciones relativas de rectas y circunferencias

 Hoy vamos a aprender a identificar y representar las diferentes posiciones relativas de rectas y circunferencias.  ↓

POSICIÓN RELATIVA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA

Interior: Su distancia al medio es centro que el radio.

Punto sobre la circunferencia: Su distancia al centro es igual que el radio.

Punto exterior a la circunferencia: Su distancia al centro es mayor que el radio.

POSICIÓN RELATIVA DE UNA RECTA RESPECTO A LA CIRCUNFERENCIA

Recta secante: La recta corta a la circunferencia en dos puntos.

 

Recta tangente: La recta corta a la circunferencia en un punto.

 

Recta exterior: No tiene ningún punto de corte con la circunferencia.

En el caso de encontrarte con las distintas posiciones de dos circunferencia se dan los tres mismos tipos de posición.

*Espero que con este repasito podáis resolver este ejercicio sin problema.😄

ACTIVIDAD

1. Traza un ejemplo gráfico para cada posición relativa de rectas y circunferencias de la lista respecto a una circunferencia de 2cm de radio:

a. Recta secante respecto a la circunferencia dada

b. Circunferencia tangente exterior respecto a la circunferencia dada

c. Circunferencia interior concéntrica respecto a la circunferencia dada

2. Identifica que tipo de relación guardan los diferentes elementos respecto a la circunferencia roja de cada uno de los esquemas representados.